Parus16.ru

Парус №16
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Вычисление интегралов

Вычисление интегралов

Обратную операцию нахождения первообразной для данной функции называют интегрированием.

  1. Найдите неопределенный интеграл $$ int 5sin(x)dx $$ .
    Посмотреть решение

Данный интеграл можно найти при помощи прямого интегрирования. Для этого найдем первообразную функции sin(x), а также воспользоваться свойством, по которому постоянную можно вынести за знак интеграла.

$$ int 5 sin(x)dx = 5 cdot int sin(x)dx = 5 cdot ( -cos(x) ) + C = -5cos(x) + C$$

Ответ:

$$ int 5 sin(x)dx = -5cos(x) + C$$

Для решения данного интеграла необходимо преобразовать выражение, после чего найти первообразную. Сначала вынесем общий множитель:

Теперь можно использовать табличный интеграл:

Ответ:

$$ int frac> = frac<1> <2>cdot arcsin left( sqrt<(frac<5><4>)> cdot x right) + C $$

Чтобы найти интеграл потребуется внесение переменной под знак дифференциала:

$$ int tg xdx = int sin frac = — int d cos frac $$

Теперь воспользуемся табличным интегралом:

$$ — int dcos frac = ln |cos x| + C $$

Ответ:

$$ int tg xdx = ln |cos x| + C$$

Чтобы решить этот интеграл целесообразно преобразовать его, внеся одну из функций под знак дифференциала, а затем произвести замену переменной:

$$ int (1 + 2sin x)^2 cdot cos xdx = frac<1> <2>int (1 + 2sin x)^2 d (1 + 2sin x) $$

Произведем замену переменной 1+2sin x=t:

Ответ:

$$ int(1+2sin x)^2 cdot cos xdx = frac<(1 + 2sin x)^3> <6>+ C$$

Чтобы найти данный интеграл, используем правила интегрирования по частям $$ int vdu=vu- int udv $$. Преобразуем интеграл:

$$ int x cdot sin x dx = — int x d cos x = -(x cdot x — int cos x dx) $$

Сводим к табличному интегралу:

$$ — (x cdot cos x — int cos x dx) = -(x cdot cos x — sin x) + C = sin x — x cdot cos x + C $$

Ответ:

$$ int x cdot sin x dx = sin x — x cdot cos x + C $$

При интегрировании рациональной функции разбиваем ее на несколько более простых при помощи метода неопределенных коэффициентов. По теореме Виета можно определить корни знаменателя 1 и 2. Тогда функция приобретет вид:

Применяя метод неопределенных коэффициентов, получим:

Составим систему уравнений:

$$ begin A + B = 1 \ -A-2B = 1 end $$

Решая ее, получим:

Вернемся к интегрированию:

$$ int frac<3> <(x-2)dx>— int frac<2> <(x-1)dx>= 3 cdot ln |x-2| -2 cdot ln|x-1| + C $$

Ответ:

$$ int x cdot sin x dx = sin x — x cdot cos x + C $$

Чтобы найти интеграл воспользуемся тригонометрической заменой tg3x=t, тогда

$$ x= frac<1> <3>cdot arctg t, quad dx= frac

Читайте так же:
Биостар материнские платы драйвера
<(3(1+t²))>$$

Ответ:

$$ int tg^33xdx = tg^2frac<3x> <6>— frac<1> <6>cdot ln|1+tg^23x| + C $$

Применим тригонометрическую формулу, связанную с двойным аргументом $$ sin^2x=frac<(1-cos 2x)> <2>$$, после чего разобьем интеграл на два более простых:

∫sin²xdx=1/2·∫(1-cos 2x)dx=1/2·∫dx-1/2·∫cos 2xdx=1/2·∫dx-1/4·∫cos 2xd2x=1/2·x-1/4·sin 2x+C=1/2·(x-sin 2x/2)+C $$ int sin^2xdx = frac<1> <2>cdot int(1-cos 2x)dx = frac<1> <2>cdot int dx -frac<1> <2>int cos 2xdx =$$ $$ = frac<1> <2>cdot int dx — frac<1> <4>cdot int cos 2xdx = frac<1> <2>cdot x — frac<1> <4>cdot sin 2x + C = frac<1> <2>cdot (x — sin frac<2x><2>) + C $$

Ответ:

$$ int sin^2xdx = frac<1> <2>cdot (x — sin frac<2x><2>) + C $$

Сначала разложим интеграл на 2 более простых, а затем произведем замену:

Возьмем каждый из интегралов по отдельности:

Ответ:

Чтобы найти интеграл необходимо дважды применить интегрирование по частям. Получим:

$$ int x cdot ln^2 xdx = frac<1> <2>cdot int ln^2xdx^2 = frac<1> <2>cdot ( ln^2 x cdot x^2 — int x^2d ln^2x ) = frac<1> <2>cdot (ln^2x cdot x^2 — int x^2 cdot 2 cdot ln frac)= $$

$$ = frac<1> <2>cdot (ln^2x cdot x^2 — 2 cdot int x cdot ln xdx) = frac<1> <2>cdot (ln^2x cdot x cdot x^2 — 2 cdot frac<1> <2>cdot ( ln x cdot x^2 — int xdx ) ) = ln^2 x cdot frac <2>— frac <4>+C$$

Ответ:

$$ int x cdot ln^2 xdx = ln^2 x cdot frac <2>— frac <4>+C $$

Интеграл от экспоненты

Интеграл от экспоненты равняется сумме данной показательной функции exp(x)=e x и постоянной (константы) интегрирования.

Его можно записать в виде формулы:

(int e^xoperatorname dx=e^x+C)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Это выражение является производным от формулы для вычисления интеграла показательной функции при соблюдении следующих условий:

Список интегралов с экспонентой

В данном перечне постоянная интегрирования опущена для удобства, но она может быть добавлена к каждой из формул в правой ее части.

Неопределенные интегралы

(int e^operatorname dx=frac1ce^)

(int xe^operatorname dx=frac>left(cx-1right))

(int x^ne^operatorname dx=frac1cx^ne^-frac ncint x^e^operatorname dx)

Обратим внимание, что в данной формуле присутствует натуральный логарифм от модуля x.

(int e^lnleft(xright)operatorname dx=frac1ce^lnleft(left|xright|right)-Eileft(cxright))

В последнем случае (erf) — функция ошибок.

Первообразные, содержащие синус и косинус:

(int e^sinleft(bxright)operatorname dx=frac>left(csinleft(bxright)-bcosleft(bxright)right))

Читайте так же:
Драйвер nvidia geforce gtx 850m

(int e^cosleft(bxright)operatorname dx=frac>left(ccosleft(bxright)+bsinleft(bxright)right))

(int e^sin^nleft(xright)operatorname dx=fracsin^left(xright)>left(csinleft(xright)-ncosleft(xright)right)+fracint e^sin^left(xright)operatorname dx)

(int e^cos^nleft(xright)operatorname dx=fraccos^left(xright)>left(ccosleft(xright)+nsinleft(xright)right)+fracint e^cos^left(xright)operatorname dx)

Определенные интегралы

(int_0^infty e^<-ax>operatorname dx=frac1a)

(int_0^infty e^<-ax>sinleft(bxright)operatorname dx=frac b,;a>0)

(int_0^infty e^<-ax>cosleft(bxright)operatorname dx=frac b,;a>0)

Здесь I — первородная модифицированная функция Бесселя.

Выражения с корнем в составе:

Здесь (k) — целое число, (!!) — двойной факториал.

Как найти интеграл от экспоненты в сложной степени

В случае, когда показатель степени экспоненты выражен в виде сложной функции ax+b, то неопределенный интеграл вычисляется по формуле:

Интеграл от числа Эйлера в степени х (e x )

Чтобы понять, как произвести переход от е в x-степени к первообразной от e x , вспомним порядок выведения формулы для производной от функции e x . Будем действовать по общему алгоритму выведения формулы производной.

Сначала рассмотрим прирост функции степени:

Далее разберем предел составленного выражения при Δx, стремящемся к нулю:

При y, равном e в степени x, полученное выражение преобразуется в следующее:

Примеры решения задач

Задача 1

Вычислить неопределенный интеграл:

(int4cdot e^xoperatorname dx)

Вынесем постоянную интегрирования за символ интеграла и воспользуемся формулой:

(int4cdot e^xoperatorname dx=4int e^xoperatorname dx=4e^x+С)

Ответ: (int4cdot e^xoperatorname dx=4e^x+С.)

Задача 2

Взять интеграл от:

(int e^<2x>operatorname dx)

Решение

Применим формулу для интеграла от экспоненты со сложной степенью, согласно которой a=2. При подстановке получим:

(int e^<2x>operatorname dx=frac12e^<2x>+C)

Это и будет ответом.

Задача 3

Определить интеграл экспоненциальной функции с отрицательным показателем степени:

(int e^<-x>operatorname dx)

Решение

Поскольку степень e равна −x, знак минуса выносим за символ дифференциала и получим выражение:

(int e^<-x>operatorname dx=-int e^<-x>operatorname dleft(-xright)=-e^<-x>+C)

Контрольная работа по теме "Интеграл. Приложение интеграла"

Нажмите, чтобы узнать подробности

Данная контрольная работа является домашней итоговой контрольной работой по теме.

Просмотр содержимого документа
«Контрольная работа по теме «Интеграл. Приложение интеграла»»

Контрольная работа

Найдите интегралы, используя свойства интегралов и таблицу интегралов:

dx;

(2x 3 +3x 2 -36x+15)dx;

( x+)dx;

( x-)dx;

()dx;

dx;

dx;

dx;

;

;

;

.

Найдите интегралы методом введения новой переменной:

;

;

;

;

;

.

Найдите интегралы методом интегрирования по частям:

Сделайте чертёж и вычислите площадь фигуры, ограниченной данными линиями:

y=x 2 -3x-4 и осью Ох.

y=x 3 , y=x 2 , x=-1, x=0.

Сделайте чертёж и вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной данными линиями:

Читайте так же:
Драйвер samsung gt i9003

y=x 2 , y=0, x-3=0, x=0.

Скорость прямолинейного движения тела задана уравнением V(t)=9t 2 -20t (V- в м/с). Вычислите его путь, пройденный за четвертую секунду.

Скорость прямолинейно движущегося тела равна V(t)=4t-t 2 (V- в м/с). Вычислите путь, пройденный телом от начала движения до остановки.

Вычислите работу, которую нужно совершить при растяжении пружины на 8 см., если сила 3 Н растягивает пружину на 1 см.

При сжатии пружины на 4 см необходимо совершить работу 9,81 Дж. Какую работу надо произвести для сжатия пружины на 10 см.

11.1.2. Неопределенный интеграл. Примеры

IV. ∫kf (x) dx=k·∫f (x) dx, где k — постоянная величина, не равная нулю.

V. ∫(f (x)±g (x)) dx=∫f (x) dx±∫g (x) dx.

VI. Если F (x) есть первообразная для f (x), а k и b — постоянные величины,

причем, k≠0, то (1/k)·F (kx+b) есть первообразная для f (kx+b).

Даже простейшие примеры на нахождение неопределенных интегралов предполагают хорошее знание таблицы интегралов . С этого и начнем, причем, перепишем все формулы таблицы интегралов для функции u, которая зависит от х. Итак, мы будем считать, что u — не простая переменная, а функция от х, т.е. u=φ(x), тогда нижеприведенная таблица интегралов окажется справедливой в любом случае: и если переменная интегрирования является независимой переменной, и если переменная интегрирования есть функция от независимой переменной.

3) ∫du=u+C.

6) ∫cosudu=sinu+C.

7) ∫sinudu=-cosu+C.

Примеры.

Найти следующие интегралы и сделать проверку.

1) ∫(2x – 3) dx. Используем свойства V и IV, формулы 1). и 3).

(Наш лист Интегралы)

∫(2x – 3) dx = 2∫xdx — 3∫dx = 2·x²/2 – 3x + C = х 2 – 3х + С.

Проверка. F'(x) = (х 2 – 3х + С)' = 2x – 3 = f (x).

2). ∫(2x – 3) 2 dx. Преобразуем подынтегральную функцию по формуле ФСУ (формулы сокращенного умножения): (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 , а затем используем те же свойства и формулы, что и в примере 1).

∫(2x – 3) 2 dx =∫( 4x 2 – 12x + 9) dx = 4∫x 2 dx — 12∫xdx + 9∫dx =

= 4·x³/3 — 12· x²/2 + 9x + C = ( 4/3) x 3 – 6x 2 + 9x + C.

Проверка. F'(x) = ((4/3) x 3 – 6x 2 + 9x + C)' =(4/3) · 3x 2 — 6·2x + 9 = 4x 2 – 12x + 9 = (2x – 3) 2 = f (x).

Решим пример 2) вторым способом — подведения под знак дифференциала.

Итак, требуется найти ∫(2x – 3) 2 dx.

Читайте так же:
Геймпад logitech rumblepad 2 драйвер

Будем использовать формулу 1). Вместо u у нас (2х – 3) и, по формуле 1), переменная интегрирования должна быть такой же, как и основание степени, т. е (2х – 3). Хорошо, вместо dx запишем d(2x – 3). И что изменилось? d (2x – 3) = 2dx, т.е. подынтегральное выражение стало больше в 2 раза. Разделим его на 2. Для этого перед значком интеграла поставим множитель ½.

Значит,∫(2x – 3) 2 dx = (½)∫( 2x – 3) 2 d (2x – 3). Мысленно представляйте себе u 2 вместо

(2х – 3) 2 и du вместо d(2x – 3). Увидели ∫u 2 du ? И что получится? Верно: u³/3+ C.

«Долго сказка сказывается…», а решаются такие примеры быстро:

∫(2x – 3) 2 dx = (½)∫(2x – 3) 2 d (2x – 3) =(½) ·(2x-3)³/3 + С =(1/6) · (2х – 3) 3 + С.

Проверка. (F (x)+С)′ = ( 1/6· (2х – 3) 3 + С)' = (1/6)· 3 (2x – 3) 2 · 2 = (2x – 3) 2 = f (x).

Сравните эти два способа решения примера 2. Что, не впечатлил второй способ? Тогда пример 3).

3) ∫(2x – 3) 7 dx. Желаете возводить (2х – 3) в седьмую степень? А-а, то-то же!

Решаем способом подведения под знак дифференциала, т.е. вторым способом так же, как предыдущий пример.

∫(2x – 3) 7 dx = (½)∫(2x – 3) 7 d (2x – 3) = (½)· (2x – 3) 8 /8 + C =(1/16) (2x – 3) 8 + C.

Проверка. F'(x) = ((1/16)(2x – 3) 8 + C)' =(1/16) ·8 (2x – 3) 7 ·2 = (2x – 3) 7 = f (x).

Найти неопределенный интеграл

Калькулятор для пошагового нахождения неопределенного интеграла онлайн (бесплатно). Данный калькулятор полностью заменит вам репетитора по математике, достаточно решить несколько интегралов с помощью данного калькулятора и вы сможете самостоятельно решать любой неопределенный интеграл .

Для решения вашего неопределенного интеграла достаточно вставить функцию в окошко калькулятора и нажать кнопку "Вычислить интеграл".

Пример вычисления интеграла:

Основные константы

  • Число \pi: Pi
  • Число e: E
  • Бесконечность \infty: Infinity или inf

Основные функции

\left(a=\operatorname<const data-lazy-src=

  • \sqrt<x data-lazy-src=
  • \ln x: Log[x]
  • \cos x: cos[x] или Cos[x]
  • \sin x: sin[x] или Sin[x]
  • \operatorname<tg data-lazy-src=
  • \operatorname<cosec data-lazy-src=
  • \arcsin x: ArcSin[x]
  • \operatorname<arctg data-lazy-src=
голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector