Parus16.ru

Парус №16
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

4. 5. Эллипс Канонические уравнения эллипса кратко

4.5. Эллипс Канонические уравнения эллипса кратко

Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про эллипс, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое эллипс,канонические уравнения эллипса , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Линейная алгебра и аналитическая геометрия

эллипс (др.-греч. ἔλλειψις «опущение; нехватка, недостаток (эксцентриситета до 1)») — замкнутая кривая на плоскости , которая может быть получена как пересечение плоскости и кругового цилиндра или как ортогональная проекция окружности на плоскость.

Одной из трех составляющих «Триады Менехма» является Эллипс.
Ее открыл в IV веке до н. э. древнегреческий математик Менехм, пересекая разного вида конусы (остроугольный, прямоугольный и тупоугольный)
плоскостью, перпендикулярной образующей. В итоге ему удалось свести решение задачи об удвоении куба к нахождению точек пересечения двух
парабол. Более столетия конические сечения не имели собственных названий (указывали лишь способ получения кривых, например, эллипс —
«сечение остроугольного конуса»).

4.5. Эллипс Канонические уравнения эллипса

4.5. Эллипс Канонические уравнения эллипса

Эллипс как коническое сечение , его фокусы и директрисы, получаемые геометрически с помощью шаров Данделена.

4.5. Эллипс Канонические уравнения эллипса

Шары Данделена — сферы , участвующие в геометрическом построении, которое связывает планиметрическое определение эллипса , гиперболы и параболы через фокусы с их стереометрическим определением как сечения конуса . Предложены Данделеном в 1822 году .

Сферы Данделина можно использовать для элегантных современных доказательств двух классических теорем, известных Аполлонию Пергскому . Первая теорема состоит в том, что замкнутое коническое сечение (т.е. эллипс ) — это геометрическое место точек, такое что сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) постоянна. Вторая теорема заключается в том, что для любого конического сечения расстояние от фиксированной точки (фокуса) пропорционально расстоянию от фиксированной линии ( директрисы ), а коэффициент пропорциональности называется эксцентриситетом .

Коническое сечение имеет по одной сфере Данделина для каждого фокуса. Эллипс состоит из двух сфер Данделина, соприкасающихся с одной и той же вершиной конуса, в то время как у гиперболы две сферы Данделина касаются противоположных вершин. Парабола имеет только один шары данделена.

Окружность является частным случаем эллипса. Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является коническим сечением и квадрикой.

Эллипс — геометрическое место точек M евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек и (называемых фокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть

, причем .

Другие определения

Эллипс также можно определить как:

  • фигуру, которую можно получить из окружности, применяя аффинное преобразование
  • ортогональную проекцию окружности на плоскость
  • пересечение плоскости и кругового цилиндра.

4.5. Эллипс Канонические уравнения эллипса

Рис . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . 5

4.5. Эллипс Канонические уравнения эллипса— каноническое уравнение эллипса (рис. 5),

4.5. Эллипс Канонические уравнения эллипса— большая полуось,

4.5. Эллипс Канонические уравнения эллипса— малая полуось,

4.5. Эллипс Канонические уравнения эллипса— левый и правый фокусы,

4.5. Эллипс Канонические уравнения эллипса
4.5. Эллипс Канонические уравнения эллипса— эксцентриситет,

4.5. Эллипс Канонические уравнения эллипса— левая и правая директрисы,

4.5. Эллипс Канонические уравнения эллипса— левый и правый фокальные радиусы точки 4.5. Эллипс Канонические уравнения эллипса,

Читайте так же:
База данных вузов россии

4.5. Эллипс Канонические уравнения эллипса— расстояния от точки P до левой и правой директрисы.

Приближенные формулы для периметра

Максимальная погрешность этой формулы при эксцентриситете эллипса (соотношение осей ). Погрешность всегда положительна.

Приблизительно в два раза меньшие погрешности в широком диапазоне эксцентриситетов дает формула: , где Максимальная погрешность этой формулы при эксцентриситете эллипса (соотношение осей ) Погрешность также всегда положительна.

Существенно лучшую точность при обеспечивает формула Рамануджана:

При эксцентриситете эллипса (соотношение осей ) погрешность составляет . Погрешность всегда отрицательна.

Еще точней оказалась вторая формула Рамануджана:

Точные формулы для периметра

Джеймс Айвори и Фридрих Бессель независимо друг от друга получили формулу для периметра эллипса:

где — Арифметико-геометрическое среднее 1 и , а — модифицированное арифметико-геометрическое среднее 1 и , которое было введено С. Ф. Адлаем в статье 2012 года.

Площадь эллипса и его сегмента

Площадь эллипса вычисляется по формуле

Площадь сегмента между дугой[en], выпуклой влево, и вертикальной хордой, проходящей через точки и , можно определить по формуле :

Если эллипс задан уравнением , то площадь можно определить по формуле

Другие свойства

  • Оптические
    • Свет от источника, находящегося в одном из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи пересекутся во втором фокусе.
    • Свет от источника, находящегося вне любого из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи ни в каком фокусе не пересекутся.
    • Эквивалентная формулировка: через середины двух любых параллельных хорд эллипса проходит какой-либо диаметр эллипса. В свою очередь, любой диаметр эллипса всегда проходит через центр эллипса.
    • Если эксцентриситет эллипса равен нулю (что то же самое, что фокальное расстояние равно нулю: F_<2>=0>), то эллипс вырождается в окружность.

    где обозначает площадь фигуры .

    • Более того: равенство достигается в том и только в том случае, если ограничено эллипсом.
    • Среди всех выпуклых замкнутых кривых, ограничивающих данную площадь, эллипсы и только они имеет максимальную аффинную длину.
    • Если произвольный эллипс вписан в треугольникABC и имеет фокусы P и Q, тогда для него справедливо соотношение
    • Если лестницу (бесконечно тонкий отрезок прямой) прислонить к вертикальной стенке с горизонтальным полом, и один конец лестницы будет скользить по стенке (все время касаясь ее) а второй конец лестницы будет скользить по полу (все время касаясь его), тогда любая фиксированная точка лестницы (не на ее концах), будет двигаться по дуге некоторого эллипса. Это свойство остается верным, если мы возьмем точку не внутри лестницы-отрезка, а на ее мыслимом продолжении. Последнее свойство используется в описанном выше[⇦] эллипсографе.
    • Касательная, проходящая через точку , принадлежащую эллипсу, имеет следующее уравнение:

    Применение эллипса

    с помощью Эллипса сделали революционное открытие в астрономии

    В XVI веке математик и астроном древности Кеплер доказал, что каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце

    вычисление хода отражения

    движенее материальной точки по эллиптической кривой

    канонические уравнения эллипса и гиперболы

    4.5. Эллипс Канонические уравнения эллипса

    Пожалуйста, пиши комментарии, если ты обнаружил что-то неправильное или если ты желаешь поделиться дополнительной информацией про эллипс Надеюсь, что теперь ты понял что такое эллипс,канонические уравнения эллипса и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Линейная алгебра и аналитическая геометрия

    Восстановить каноническое уравнение эллипса

    В § 7 было получено уравнение фигуры, которую мы назвали эллипсом:
    Перейдем в новую систему координат, перенеся начало системы координат в точку и повернув оси исходной системы на угол 90°.

    В соответствии с формулами преобразования координат выразим старые координаты через новые по формулам:
    или
    В новой системе координат, которую называют канонической , уравнение эллипса имеет вид
    при этом
    то есть при получим, что . В дальнейшем для удобства будем опускать знак «штрих» и будем вместо писать . Таким образом, получим уравнение эллипса в новой системе координат.
    Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса .

    Рассмотрим свойства эллипса.

    Эллипс пересекает каждую из осей координат в двух точках.

    Для определения точек пересечения эллипса с осью нужно решить совместно два уравнения
    Отсюда получим . Таким образом, точками пересечения эллипса с осью будут точки .

    Аналогично, точки пересечения эллипса с осью .

    Точки называются вершинами эллипса . Отрезок называется большой осью эллипса , отрезок – малой осью . Числа называют полуосями эллипса . Точки и где называются фокусами эллипса .

    Пусть – произвольная точка эллипса. Найдем расстояния от точки до фокусов эллипса.
    Рассмотрим выражение

    Здесь мы учли, что координаты точки удовлетворяют уравнению эллипса.

    Величину называют эксцентриситетом эллипса . Очевидно, для эллипса . Поскольку то отсюда следует, что . Поэтому

    Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов есть величина постоянная и равная удвоенной большей полуоси.

    Действительно, используя полученные выражения для расстояний от точки эллипса до его фокусов, получим

    Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

    В уравнение эллипса переменные входят только во второй степени, поэтому если точка принадлежит эллипсу, то точки и также принадлежат ему, так как их координаты удовлетворяют уравнению эллипса. Точка симметрична точке относительно оси , а точка – относительно . Таким образом, эллипс имеет две оси симметрии, они взаимно перпендикулярны. Большая и малая полуоси эллипса лежат на его осях симметрии.

    Если координаты точки удовлетворяют уравнению эллипса, то этому же уравнению удовлетворяют и координаты точки . Точка симметрична точке относительно начала координат. Таким образом, эллипс имеет центр симметрии.

    Центр симметрии эллипса называется центром эллипса .

    Пусть – окружность с центром в начале координат и радиуса . Тогда
    Точке на окружности сопоставим точку такую, что
    Точка получается сдвигом точки , при котором абцисса не меняется, а ордината уменьшается в отношении Координаты точки удовлетворяют уравнению эллипса. В самом деле,

    Таким образом, эллипс можно получить из окружности равномерным сжатием к оси , при котором ординаты точек уменьшаются в одном и том же соотношении, равном Отсюда следует, что форма эллипса зависит от значения отношения чем меньше это отношение, тем более сжатым будет эллипс, и наоборот, чем больше отношение тем эллипс будет менее сжатым.

    В качестве характеристики формы эллипса удобнее пользоваться эксцентриситетом. Так как
    то чем больше ε, тем более сжат эллипс.

    При малых значениях эксцентриситета эллипс мало отличается от окружности. При эллипс превращается в окружность.

    В § 7 мы определили эллипс как множество точек, отношение расстояний от которых до данной точки и данной прямой есть величина постоянная и равная числу .

    Рассмотрим, какие координаты имеет точка и какое уравнение – прямая в канонической системе координат. Для начала отметим, что в силу введенных ранее обозначений
    Тогда
    Таким образом, данное в условии исходной задачи число, характеризующее величину отношения расстояний от точки эллипса до точки и прямой , есть эксцентриситет эллипса.

    Координаты точки при переходе в новую систему будут равны:
    То есть точка в новой системе координат имеет те же координаты, что и фокус эллипса и поэтому совпадет с ним.

    Уравнение прямой в исходной системе координат имело вид После замены системы координат получим новое уравнение прямой
    Обозначим и покажем, что Действительно,
    Поскольку для эллипса , то

    Прямая называется директрисой , соответствующей фокусу F1(-c; 0). Наряду с этой директрисой вводят прямую , которая является директрисой, соответствующей фокусу .

    С учетом свойств симметрии эллипса, свойство, с помощью которого мы определили эллипс, в новых терминах можно сформулировать следующим образом: отношение расстояния от любой точки эллипса до одного из его фокусов к расстоянию от этой точки до соответствующей ему директрисы есть величина постоянная и равная эксцентриситету. Вид эллипса в канонической системе координат и его директрисы приведены на рис. 10.8.1.

    Научный форум dxdy

    Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

    Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

    Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

    Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

    Уравнение эллипса с углом наклона к оси 0х

    Пусть у нас исходная система координат $Oxy$. С «повёрнутым» эллипсом свяжем систему координат $Ox'y'$, в которой оси эллипса лежат на осях $Ox'$и $Oy'$(предполагаем пока, что центр эллипса совпадает с началом системы $Oxy$, то есть, с точкой $O$). В этой системе координат уравнение эллипса имеет канонический вид: $frac<x'^2 data-lazy-src=

    Восстановить каноническое уравнение эллипса

    Ах 2 + 2Вху + Су 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0.

    Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.

    1) — уравнение эллипса.

    2) — уравнение “мнимого” эллипса.

    3) — уравнение гиперболы.

    4) a 2 x 2 – c 2 y 2 = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.

    5) y 2 = 2 px – уравнение параболы.

    6) y 2 – a 2 = 0 – уравнение двух параллельных прямых.

    7) y 2 + a 2 = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.

    8) y 2 = 0 – пара совпадающих прямых.

    9) ( x – a ) 2 + ( y – b ) 2 = R 2 – уравнение окружности.

    В окружности ( x – a ) 2 + ( y – b ) 2 = R 2 центр имеет координаты ( a ; b ).

    Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде:

    2 x 2 + 2 y 2 – 8 x + 5 y – 4 = 0.

    Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к виду, указанному выше в п.9. Для этого выделим полные квадраты:

    x 2 + y 2 – 4 x + 2,5 y – 2 = 0

    x 2 – 4 x + 4 –4 + y 2 + 2,5 y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

    ( x – 2) 2 + ( y + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0

    ( x – 2) 2 + ( y + 5/4) 2 = 121/16

    Отсюда находим О (2; -5/4); R = 11/4.

    Определение. Эллипсом называется линия, заданная уравнением .

    О пределение. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

    с – половина расстояния между фокусами;

    a – большая полуось;

    b – малая полуось.

    Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:

    a 2 = b 2 + c 2 .

    Доказательство: В случае , если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, r 1 + r 2 = 2 (по теореме Пифагора). В случае , если точка М находится на пересечении эллипса с горизонтальной осью, r 1 + r 2 = a c + a + c . Т.к. по определению сумма r 1 + r 2 – постоянная величина, то , приравнивая, получаем:

    a 2 = b 2 + c 2

    r 1 + r 2 = 2 a .

    Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом.

    Т.к. с < a , то е < 1.

    Определение. Величина k = b / a называется коэффициентом сжатия эллипса, а величина 1 – k = ( a – b )/ a называется сжатием эллипса.

    Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k 2 = 1 – e 2 .

    Если a = b ( c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.

    Если для точки М( х1, у1) выполняется условие: , то она находится внутри эллипса, а если , то точка находится вне эллипса.

    Теорема. Для произвольной точки М( х , у), принадлежащей эллипсу верны соотношения:

    Доказательство. Выше было показано, что r 1 + r 2 = 2 a . Кроме того, из геометрических соображений можно записать:

    После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых:

    Аналогично доказывается, что r 2 = a + ex . Теорема доказана.

    С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения:

    x = a / e ; x = — a / e .

    Теорема. Для того , чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету е.

    Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением:

    1) Координаты нижней вершины: x = 0; y 2 = 16; y = -4.

    2) Координаты левого фокуса: c 2 = a 2 – b 2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F 2 (-3; 0).

    3) Уравнение прямой, проходящей через две точки:

    Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), большая ось равна 2.

    Уравнение эллипса имеет вид: . Расстояние между фокусами:

    2 c = , таким образом, a 2 – b 2 = c 2 = ½

    по условию 2а = 2, следовательно а = 1, b =

    Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

    По определению ï r 1 – r 2 ï = 2 a . F 1 , F 2 – фокусы гиперболы. F 1 F 2 = 2 c .

    Выберем на гиперболе произвольную точку М( х , у). Тогда :

    обозначим с 2 – а 2 = b 2 (геометрически эта величина – меньшая полуось)

    Получили каноническое уравнение гиперболы.

    Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.

    Ось 2а называется действительной осью гиперболы.

    Ось 2 b называется мнимой осью гиперболы.

    Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

    Определение. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.

    С учетом того, что с 2 – а 2 = b 2 :

    Если а = b , e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).

    Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a / e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .

    Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого — либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r / d – величина постоянная, равная эксцентриситету.

    голоса
    Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector