Parus16.ru

Парус №16
11 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Условия Коши-Римана

Условия Коши-Римана

Рассмотрим некоторую комплексную величину $w$, которая задается выражением $w(z)=u(x,y)+v(x,y)cdot i$, где $u(x,y),, , , v(x,y)$ — действительные функции вещественного переменного, $z=x+yi$.

Данная величина является комплексной функцией вещественного переменного.

Функция $w(z)$ называется аналитической в некоторой точке z, если данная функция дифференцируема в некоторой окрестности данной точки z.

Функция называется аналитической в некоторой области D, если она является аналитической в каждой точке данной области.

Пусть функции $u(x),, , , v(x)$ являются дифференцируемыми.

Выражение $w_ ‘=u’_ (x,y)+icdot v’_ (x,y)$ называется производной комплексной функции действительного переменного по действительному аргументу$x$.

Аналогично определяется производная по действительному аргументу$y$.

Вычислить производные комплексной функции действительного переменного $x$ и $y$:

Для вычисления производной воспользуемся следующей формулами:

1) Для функции $w=(3x+2)+(x^ <3>+2y)cdot i$ получаем:

[w_ ‘=(3x+2)_ ‘+(x^ <3>+2y)_ ‘cdot i=3+3x^ <2>cdot i;] [w_ ‘=(3x+2)_ ‘+(x^ <3>+2y)_ ‘cdot i=0+2cdot i=2cdot i.]

2) Для функции $w=(x+e^ )+(3y^ <2>+ln x)cdot i$ получаем:

Для того чтобы некоторая функция $w(z)$ являлась дифференцируемой в некоторой точке $z_ <0>=x_ <0>+y_ <0>cdot i$, необходимо и достаточно, чтобы $u(x,y)$ и $v(x,y)$ являлись дифференцируемыми в точке $(x_ <0>;y_ <0>)$ и выполнялись следующие условия:

Данные условия называются условиями Коши-Римана.

Готовые работы на аналогичную тему

Условия Коши-Римана являются соотношениями, которые связывают вещественную и мнимую части дифференцируемой функции $w(z)=u(x,y)+v(x,y)cdot i$, где $u(x,y),, , , v(x,y)$ — действительные функции вещественного переменного, $z=x+yi$.

Для заданной функции комплексной переменной выполнить следующие действия:

  • выделить действительную и мнимую части функции;
  • найти область аналитической функции;
  • вычислить значение производной функции в заданной точке $z_ <0>$. [w=e^ <1-2iz>,z_ <0>=frac<6>]

Выделим действительную и мнимую части функции. Положим $z=x+yi$ и получим:

Следовательно, $u(x,y)=e^ <1+2y>cdot cos (-2x);, , , , v(x,y)=e^ <1+2y>cdot sin (-2x)$ — искомые действительная и мнимая части функции.

Условия Коши-Римана выполняются для любых действительных $x,y$. Следовательно, функция является аналитической для любых действительных $x,y$.

Найдем производную функции и вычислим значение производной функции в заданной точке $z_ <0>=frac <6>$.

Производная функции имеет вид:

Вычислим значение производной функции в заданной точке

На практике можно встретить следующие задачи.

По заданной действительной части $u(x,y)$ некоторой функции комплексной переменной $w(z)$ необходимо найти мнимую часть $v(x,y)$ данной функции. Восстановить функцию $w(z)$ по известным действительной и мнимой частям.

Алгоритм решения задачи 1 будет следующим:

  • найти мнимую часть с помощью условий Коши-Римана;
  • составить функцию $w(z)=u(x,y)+v(x,y)cdot i$;
  • выполнить преобразования и выделить переменную $z=x+yi$ или $overline=x-yi$.

По заданной мнимой части $v(x,y)$ некоторой функции комплексной переменной $w(z)$ необходимо найти мнимую часть $u(x,y)$ данной функции. Восстановить функцию $w(z)$ по известным действительной и мнимой частям.

Алгоритм решения задачи 2 будет следующим:

  • найти действительную часть с помощью условий Коши-Римана;
  • составить функцию $w(z)=u(x,y)+v(x,y)cdot i$;
  • выполнить преобразования и выделить переменную $z=x+yi$ или $overline=x-yi$.

При решении практических задач могут пригодиться следующие соотношения:

Операция деления на мнимую единицу $i$ равносильна операции умножения на $-i$.

По действительной части $u(x,y)=-x^ <2>+y^ <2>-5y$ некоторой функции комплексной переменной восстановить ее мнимую часть $v(x,y)$ и восстановить данную функцию, при этом функция удовлетворяет начальному условию $w(0)=0$.

Найдем мнимую часть $v(x,y)$ искомой функции $w(z)$. Воспользуемся первым условием Коши-Римана:

Подставим исходные значения и получим:

Найдем неизвестную функцию $phi (x)$.

Воспользуемся вторым условием Коши-Римана:

Мнимая часть искомой функции $w(z)$ восстановлена, тогда можем записать саму функцию:

Восстановить аналитическую функцию по ее действительной части

Сначала возьмём то же самое , что в недавно сделанной задаче 47, и восстановим

Задача 49. Дано , . Найти и .

Решение. Сначала проверим уравнение Лапласа

Их сумма равна 0. Уравнение Лапласа выполняется. Поэтому данная может являться одной из компонент какой-либо комплексной функции. Далее надо вычислить , найдём её в виде потенциала от её градиента: то есть в виде потенциала векторного поля . Дело в том, что в такой записи можно заменить производные от неизвестной функции на производные от известной функции по условиям Коши-Римана. . А первые производные от уже известны, мы их вычисляли выше в процессе проверки уравнения Лапласа. Как и при вычислении потенциала, в качестве начальной точки как правило, принимаем (0,0) и интегрируем по ломаной.

= , а так как начальная точка (0,0) быра взята произвольно, могла быть и иная точка, то надо зхаписать с точностью до константы: .

При этом, если дано , то . Итак,

Осталось восстановить функцию . Для этого вспомним, что:

и применим эти выражения в записи .

Ответ. .

Задача 50. . Найти и .

Решение. Проверим уравнение Лапласа.

Сумма вторых производных равна 0.

При произвольном выборе начальной точки, , из условия определим константу . Если то , тогда .

= = = . Здесь можно даже не пользоваться формулами , , ведь мы уже сумели получить в первой скобке, а во 2-й в обратном порядке и одна с минусом, если домножить и поделить на , то также удастся получить выражение с .

= = = = = . Ответ. .

Задача 51. Дано , . Найти и .

Решение. Сначала проверим уравнение Лапласа, т.е. что сумма вторых производных равна 0.

Их сумма равна 0. Уравнение Лапласа выполняется. = =

= . Но так как начальная точка была взята произвольно, то надо записать в самом общем виде:

При этом константа должна быть такая, чтобы обеспечивалось равенство , т.е. , т.е. в точке было , таким образом, должно быть .

Осталось восстановить функцию . Для этого вспомним, что:

и применим эти выражения в записи .

Как видим, здесь в процессе преобразований полностью сократилось. Так и должно было быть, ведь

Ответ. .

Задача 52. . Найти и .

Решение. Проверим уравнение Лапласа.

Сумма вторых производных равна 0.

Ищем в виде потенциала от её же градиента.

где заменяем производные от неизвестной функции на производные от известной ( ) по условиям Коши-Римана.

А первые производные от мы уже считали, когда проверяли уравнение Лапласа, их и используем здесь.

Но если бы мы выбрали не (0,0) а другую начальную точку, то могло получиться и выражение с какой-то лишней константой, например если (1,2) то было бы = = .

Поэтому мы должны записать самый общий случай:

, а затем уже из условия определим константу . Если то , тогда .

Теперь запишем = и выразим все через в виде , . Если привести подобные, то сократится. = =

Ответ. .

Задача 53. . Найти и .

Решение. Сначала проверим уравнение Лапласа.

Их сумма равна 0, уравнение Лапласа выполняется, — одна из компонент комплексной функции.

далее по ломаной интеграл вида

В общем виде, потенциал равен .

Условие означает и сводится к

Итак, = = . Далее на примере этой задачи мы увидим, что не обязательно использовать выражения , , можно просто сгруппировать слагаемые так, чтобы свернуть их по формуле Эйлера.

В выражении надо получить структуру , для этого внутри скобки поделим на а снаружи домножим.

Ответ. .

Задача 54. . Найти и .

Решение. Проверим уравнение Лапласа.

Сумма вторых производных равна 0.

При произвольном выборе начальной точки, , из условия определим константу . Если то , тогда .

2.4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

Определение. Производной однозначной функции комплексного переменного называется предел отношения , если любым способом стремится к нулю. Таким образом:

Функцию, имеющую производную, называют дифференцируемой (моногенной) при заданном значении z.

Пусть дифференцируема в точке , тогда в этой точке существуют частные производные причем эти производные связаны условиями:

Данные условия называются условиями Эйлера-Даламбера.

Условия Эйлера-Даламбера являются необходимыми условиями дифференцируемости функции в точке .

Производная функции выражается через частные производные функций по формулам:

Производные элементарных функций и т.д. находятся по тем же формулам, что и производные от функции действительного аргумента.

Фундаментальным понятием в теории функций комплексного переменного является понятие аналитической функции.

Определение. Однозначная функция называется аналитической в точке z, если она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки. Функция называется аналитической в области D, если она дифференцируема в каждой точке .

Точки плоскости z, в которых однозначная функция аналитична, называют правильными точками . Точки, в которых функция не является аналитической, называют особыми точками этой функции.

Пусть аналитична в точке z. Тогда

Отсюда следует, что

Тогда приращение функции можно записать так:

Если то первое слагаемое в последнем выражении при является бесконечно малой того же порядка, что и ; второе слагаемое есть бесконечно малая более высокого порядка, чем Следовательно, первое слагаемое составляет главную часть приращения функции .

Определение. Дифференциалом аналитической функции в точке z называется главная часть ее приращения, т.е.

Отсюда следует, что:

производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.

Замечание. Если функция аналитична в некоторой области D, то функции удовлетворяют дифференциальному уравнению Лапласа.

Действительно, дифференцируя первое из равенств Эйлера-Даламбера по , а второе по , получаем:

Функции являются гармоническими функциями.

Проверить, является ли функция аналитической. Найти её производную.

Находим действительную и мнимую части функции:

Проверяем условия Эйлера-Даламбера:

Условия выполняются во всех точках комплексной плоскости z. Функция дифференцируема, следовательно, аналитична во всех точках этой плоскости.

Её производную найдем по формуле:

Заметим, что производную функции можно найти, воспользовавшись определением производной:

Найти аналитическую функцию по её заданной действительной части .

Отметим, что функция является гармонической функцией.

Для определения мнимой части воспользуемся условиями Эйлера-Даламбера. Так как

то, согласно первому условию

Отсюда, интегрируя последнее выражение по , находим:

Для определения функции воспользуемся вторым условием Эйлера-Даламбера. Так как:

Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00

Восстановить аналитическую функцию по ее действительной части

Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный платный хостинг на базе Windows 2008

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке

Гордиенко Андрей Владимирович
Статус: Специалист
Рейтинг: 1199
• повысить рейтинг >>
Kom906
Статус: 5-й класс
Рейтинг: 988
• повысить рейтинг >>
_Ayl_
Статус: Студент
Рейтинг: 886
• повысить рейтинг >>

• / НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика

Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке:
оценить выпуск >>

Вопрос № 170618: Начертить область,заданную неравенствами [z-1-i]>1, 0 Вопрос № 170629: Пользуясь условиями Коши-Римана,выяснить,является ли функция z*cosz аналитической или нет хотя бы в одной точке. Вопрос № 170633: Восстановить аналитическую в окрестности точки z функцию f(z) по известной действительной u(x,y) или мнимой части v(x,y) и значению f(z). Дано: v(x,y)=y-(y)/(x 2 +y 2 ), f(1)=2. Вопрос № 170618:

|z-1-i| = |x+i*y-1-i| = |(x-1)+i*(y-1)| = V((x-1) 2 + (y-1) 2 ) > 1

Данное условие определяет точки окружности радиуса R = 1 и с центром в точке (1, 1), а ткже точки лежащие за пределами этой окружности

⇒ 0 Kom906 , 5-й класс
Ответ отправлен: 20.07.2009, 16:29

Оценка ответа: 5

Пользуясь условиями Коши-Римана,выяснить,является ли функция z*cosz аналитической или нет хотя бы в одной точке.

Отправлен: 20.07.2009, 20:34
Вопрос задал: Alik4546 , Посетитель
Всего ответов: 2
Страница вопроса >> Отвечает Kom906 , 5-й класс :
Здравствуйте, Alik4546.

Пусть z = x + i*y
Представим функцию в виде w(z) = u(x,y) + i*v(x,y)

w(z) = z*cosz = (x+i*y)*(e (i*z) + e (-i*z) )/2 = 0.5*(x+i*y)*(e (i*x+i*i*y) + e (-i*x-i*i*y) ) = 0.5*(x+i*y)*(e (i*x-y) + e (-i*x+y) ) =

= 0.5*(x+i*y)*(e -y *e (i*x) + e y *e (-i*x) ) = 0.5*(x+i*y)*(e -y *(cosx+i*sinx) + e y *(cosx-i*sinx)) =

= 0.5*(x+i*y)*((e -y +e y )*cosx+i*(e -y -e y )*sinx) = 0.5*(x+i*y)*(2*ch(y)*cosx — i*2*sh(y)*sinx) = (x+i*y)*(ch(y)*cosx — i*sh(y)*sinx) =

= x*ch(y)*cosx — i*x*sh(y)*sinx + i*y*ch(y)*cosx — i*y*i*sh(y)*sinx = x*ch(y)*cosx + y*sh(y)*sinx — i*x*sh(y)*sinx + i*y*ch(y)*cosx =

= (x*ch(y)*cosx + y*sh(y)*sinx) + i*(-x*sh(y)*sinx + y*ch(y)*cosx)

u(x,y) = x*ch(y)*cosx + y*sh(y)*sinx , v(x,y) = -x*sh(y)*sinx + y*ch(y)*cosx

Вычисляе м частные производные

du(x,y)/dx = ch(y)*cosx — x*ch(y)*sinx + y*sh(y)*cosx , du(x,y)/dy = x*sh(y)*cosx + sh(y)*sinx + y*ch(y)*sinx

dv(x,y)/dx = -sh(y)*sinx — x*sh(y)*cosx — y*ch(y)*sinx , dv(x,y)/dy = -x*ch(y)*sinx + ch(y)*cosx + y*sh(y)*cosx

⇒ du(x,y)/dx = dv(x,y)/dy , du(x,y)/dy = — dv(x,y)/dx (это и есть условия Коши-Римана)

То есть условия Коши-Римана выполняются при любых х и у, значит функция аналитическая на всей комплексной плоскости

Ответ отправил: Kom906 , 5-й класс
Ответ отправлен: 20.07.2009, 21:44

Оценка ответа: 5

Теория по вопросу URL >>Условия Коши — Римана
Функция комплексного переменного f(z)=u+i*v состоит из вещественной u=u(x,y) и мнимой v=v(x,y) частей.
Найдем u и v для данной функции.

z=x+i*y
f(z)=z*cos(z)=(x+i*y)*cos(x+i*y)=(x+i*y)*( cos(x)*cos(i*y) — sin(x)*sin(i*y) )=x*cos(x)*cos(i*y) — x*sin(x)*sin(i*y) + i*y*cos(x)*cos(i*y) — i*y*sin(x)*sin(i*y)=
=< cos(i*y)=ch(y), sin(i*y)=i*sh(y) >=x*cos(x)*ch(y) — x*sin(x)*i*sh(y) + i*y*cos(x)*ch(y) — i*y*sin(x)*i*sh(y)=< i*i=-1 >=
=x*cos(x)*ch(y) — i*x*sin(x)*sh(y) + i*y*cos(x)*ch(y) + y*sin(x)*sh(y)=[ x*cos(x)*ch(y)+ y*sin(x)*sh(y) ] +i*[ y*cos(x)*ch(y) — x*sin(x)*sh(y) ]

Найдем du/dx и dv/dy и проверим выполнение равенства du/dx = dv/dy
du/dx=cos(x)*ch(y)-x*sin(x)*ch(y)+y*cos(x)*sh(y)
dv/dy=cos(x)*ch(y)-x*sin(x)*ch(y)+y*cos(x)*sh(y)
=> du/dx = dv/dy

Найдем du/dy и dv/dx и проверим выполнение равенства du/dy = — dv/dx
du/dy=x*cos(x)*sh(y)+sin(x)*sh(y)+y*sin(x)*ch(y)
dv/dx=-( x*cos(x)*sh(y)+sin(x)*sh(y)+y*sin(x)*ch(y) )
=> du/dx = — dv/dy

Т.к. du/dx = dv/dy и du/dx = — dv/dy, то условиями Коши-Римана выполнены во всей области С.
Следовательно функция f(z)=z*cos(z) является аналитической на всей комплексной плоскости С.

Ответ отправил: And0809 , 5-й класс
Ответ отправлен: 20.07.2009, 22:08

Оценка ответа: 5

Восстановить аналитическую в окрестности точки z функцию f(z) по известной действительной u(x,y) или мнимой части v(x,y) и значению f(z).
Дано: v(x,y)=y-(y)/(x 2 +y 2 ), f(1)=2.

Отправлен: 20.07.2009, 22:25
Вопрос задал: Alik4546 , Посетитель
Всего ответов: 1
Страница вопроса >> Отвечает Kom906 , 5-й класс :
Здравствуйте, Alik4546.

Так как функция аналитическая, то воспользуемся условиями Коши-Римана:
du(x,y)/dx = dv(x,y)/dy , du(x,y)/dy = — dv(x,y)/dx

Вычисляем частные производные:

dv(x,y)/dx = (y-(y)/(x 2 +y 2 ))’x = -y*(-1)*(1/(x 2 +y 2 ) 2 )*2x = (2xy) / (x 2 +y 2 ) 2

⇒ du(x,y)/dy = — dv(x,y)/dx = — (2xy) / (x 2 +y 2 ) 2

Тогда, общий вид функции u(x,y):

u(x,y) = g(x) + ∫ (du(x,y)/dy) dy = g(x) — ∫ (2xy*dy) / (x 2 +y 2 ) 2 =

= / d(x 2 +y 2 )= (x 2 +y 2 )’y *dy = 2y*dy/ = g(x) — x*∫ d(x 2 +y 2 ) / (x 2 +y 2 ) 2 =

= g(x) — x*(-1)/(x 2 +y 2 ) = g(x) + x/(x 2 +y 2 ) , где g(x) — неизвестная функция от х

Определяем функцию g(x):

g(x) = ∫ 1*dx = x + C , где С — неизвестная константа

⇒ u(x,y) = x + C + x/(x 2 +y 2 )

Определяем константу С. Так как f(1)=2, то есть при х = 1 и у = 0 функции u(x,y) = 2 и v(x,y) = 0 (легко проверяется проверкой). Тогда:

u(1,0) = 1 + C + 1/(1 2 +0 2 ) = 1 + С + 1 = 2 , ⇒ С =0

Итак u(x,y) = x + x/(x 2 +y 2 )

Тогда искомая функция имеет вид:

f(z) = u(x,y) + i*v(x,y) = u(x,y) = x + x/(x 2 +y 2 ) + i* = (x+i*y) + (x-i*y)/(x 2 +y 2 ) = z + z/|z| 2

Здесь z — комплексно-сопряженное число к числу z, реально обозначается как z подчеркнутое сверху (как вектор) (не нашел лучшего кода); |z| — модуль z

Ответ отправил: Kom906 , 5-й класс
Ответ отправлен: 21.07.2009, 00:25

Оценка ответа: 5

подать вопрос экспертам этой рассылки >>

Скажите «спасибо» эксперту, который помог Вам!

* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи. ( полный список тарифов )
** При ошибочном вводе номера ответа или текста #thank услуга считается оказанной, денежные средства не возвращаются.
*** Сумма выплаты эксперту-автору ответа расчитывается из суммы перечислений на портал от биллинговой компании.

голоса
Рейтинг статьи
Читайте так же:
Восстановить зрение жданов отзывы
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector