Parus16.ru

Парус №16
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Простые числа в математике

Простые числа в математике

Простые числа — натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя. Другими словами, число x является простым, если оно больше 1 и при этом делится без остатка только на 1 и на x.

Например, 11 — это простое число. Его можно разделить только на 1 и 11. Деление простого числа на другое приводит к тому, что остается остаток, что называют простым числом.

13 ÷ 4 = 3 (остаток 1).

Число, имеющее более двух множителей, называется составными числами. Наименьшее простое число равно 2, потому что оно делится само на себя и только на 1.

30 не является примером простого числа, потому что его можно разделить на 1,2,3,5,6,10,15,30. Таким образом, 30 является примером составного числа, поскольку оно имеет более двух факторов.

Ноль, единица и числа меньше единицы не считаются простыми числами.

Основная теорема арифметики, лемма Евклида

Основная идея теоремы арифметики — это любое целое число больше 1 либо является простым числом, либо может быть получено путем умножения простых чисел вместе.

Фундаментальная теорема арифметики (название которой указывает на ее основную важность) гласит, что любое число может быть учтено в уникальном списке простых чисел.

Простое число (2,3,5,7,11. ) против составного (4=2×2, 6=2×3, 8=2x2x2, 12=2x2x3. ).

Этот ряд примеров можно продолжить:

  • 10 равно 2×5;
  • 11 — простое число;
  • 12 — 2×2×3;
  • 13 — это простое число;
  • 14 равно 2×7;
  • 15 равно 3×5;
  • 16 равно 2×2×2×2;
  • 17 является простым и т.д.

Таким образом, они либо простые, либо простые числа, умноженные друг на друга.

Число 42. Можем ли мы получить 42, умножив только простые числа?

Да, 2, 3 и 7 являются простыми числами, и при умножении вместе они составляют 42.

Число 7. 7 уже является простым числом

Число 22. 22 может быть получено путем умножения простых чисел 2 и 11 вместе.

Никакая другая комбинация простых чисел не будет работать.

Лемма — это, как правило, незначительное, доказанное утверждение, которое используется в качестве ступеньки к доказательству более сложной математической теории. По этой причине она также известна как «вспомогательная теорема».

В теории чисел лемма Евклида — это лемма, которая отражает фундаментальное свойство простых чисел, а именно: если простое число p делит произведение ab двух целых чисел a и b, то p должно разделить, по крайней мере, одно из этих целых чисел a и b.

Если p = 19, a = 133, b = 143, то ab = 133 × 143 = 19019, и поскольку это делится на 19, лемма подразумевает, что один или оба из 133 или 143 также должны быть. На самом деле 133 = 19 × 7.

Если предпосылка леммы не выполняется, т. е. p является составным числом, его следствие может быть либо истинным, либо ложным.

В случае p = 10, a = 4, b = 15 составное число 10 делит ab = 4 × 15 = 60, но 10 не делит ни 4, ни 15.

Это свойство является ключевым в доказательстве фундаментальной теоремы арифметики. Лемма Евклида показывает, что в целых числах неприводимые элементы также являются простыми элементами.

Таким образом, изучение чисел в основном сводится к изучению свойств простых чисел. Математики на протяжении тысячелетий довольно много выяснили о простых числах. Одно из самых известных доказательств Евклида показывает, что существует бесконечно много простых чисел.

Как определить простые числа

Сначала попробуйте разделить его на 2 и посмотреть, получится ли целое число. Если да, то оно не может быть простым числом. Если вы не получите целое число, затем попробуйте разделить его на простые числа: 3, 5, 7, 11 (9 делится на 3) и так далее, всегда делясь на простое число.

8 простых чисел до 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19.

Первые 10 простых чисел — это 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Таблица простых чисел до 1000:

23571113171923
29313741434753596167
717379838997101103107109
113127131137139149151157163167
173179181191193197199211223227
229233239241251257263269271277
281283293307311313317331337347
349353359367373379383389397401
409419421431433439443449457461
463467479487491499503509521523
541547557563569571577587593599
601607613617619631641643647653
659661673677683691701709719727
733739743751757761769773787797
809811821823827829839853857859
863877881883887907911919929937
941947953967971977983991997
Читайте так же:
Можно ли ставить ddr3l вместо ddr3

2 — наименьшее простое число. Это также единственное четное простое число — все остальные четные числа могут быть разделены сами по себе на 1 и 2, что означает, что у них будет, по крайней мере, 3 фактора.

Один из самых известных математиков классической эпохи, Евклид, записал доказательство того, что не существует самого большого простого числа. Самое большое известное простое число (по состоянию на ноябрь 2020 года) составляет 282 589 933-1, число, которое имеет 24 862 048 цифр при записи в базе 10. До этого самым большим известным простым числом было 277 232 917-1, состоящее из 23 249 425 цифр.

За исключением 2 и 3, все остальные простые числа могут быть выражены в общей форме как 6n + 1 или 6n — 1, где n — натуральное число.

Чтобы определить, является ли число простым или составным, нужно решить пример на делимость в следующем порядке (от простого к сложному): 2, 5, 3, 11, 7, и 13. Если вы обнаружите, что число делится на одно из них, и вы знаете, что оно составное, не нужно выполнять остальные тесты.

Если число меньше 121 не делится на 2, 3, 5 или 7, оно простое; в противном случае оно составное.

Если число меньше 289 не делится на 2, 3, 5, 7, 11, или 13, это простое число; в противном случае оно составное.

Примеры решения задач

Является ли 19 простым числом или нет?

Как понять, что число простое можно двумя способами.

Формула для простого числа равна 6n + 1

Запишем данное число в виде 6n + 1.

6(3) + 1 = 18 + 1 = 19

Проверьте на наличие факторов 19

Следовательно, с помощью обоих методов докажем, что 19 имеет только два фактора 1 и 19, что означает простое число.

53 — это простое число или нет?

Как доказать, что число простое, используя приведенную ниже формулу. Чтобы узнать простые числа, превышающие 40, можно:

n2 + n + 41, где n = 0, 1, 2, . 39

32 + 3 + 41 = 9 + 3 + 41 = 53

53 имеет только факторы 1 и 53.

Итак, 53 является простым числом по обоим методам.

Является ли число простым или составным?

Число 185 заканчивается на 5, поэтому оно делится на 5. Оно составное.

Как проверить простое ли число 243?

Число 243 заканчивается нечетным числом, поэтому оно не делится на 2. Он не заканчивается на 5 или 0, поэтому он не делится на 5. Его цифровой корень равен 9 (потому что 2 + 4 + 3 = 9), так что оно делится на 3.

Можно ли число разделить на 0?

При делении 0 на любое число получается 0: 0 : a = 0, где a — любое число, кроме нуля. … На ноль делить нельзя!

Что будет при делении на ноль?

С точки зрения алгебры, делить на ноль нельзя, так как это не имеет никакого смысла. Возьмём два произвольных числа, a и b, и умножим их на ноль. … Получается, что если допустить операцию деления на ноль, то все числа совпадают.

Читайте так же:
Можно ли настроить телевизор без пульта

Можно ли делить ноль на другое число?

При делении нуля на любое другое число, получается нуль. Нужно обязательно запомнить: На нуль делить нельзя!

Сколько будет 0 на 0?

Другими словами 0 / 0 = ∞.

Можно ли 0 делить на дробь?

Так же, как нельзя делить на ноль. То есть, если делитель выступает дробью с числителем, равным нулю, то на такой делитель разделить не получится. … И наоборот, если делимое равно нулю или дроби с числителем, равным нулю, то можно смело делить дробь на дробь и получить в результате ноль.

Что можно поделить на ноль?

при а ≠ 0 не существует числа, которое при умножении на 0 даёт а , поэтому ни одно число не может быть принято за частное а ⁄0; при а = 0 деление на ноль также не определено, поскольку любое число при умножении на 0 даёт 0 и может быть принято за частное 0⁄0.

Что будет если бесконечность делить на ноль?

При делении на бесконечность любого числа получится нуль. Точный нуль, никакого «стремления к нулю». И потом, на какое число его ни умножай, нуль. А результатом деления нуля на любое число, кроме нуля, будет нуль, только при делении нуля на нуль результат не определен, как частное будет годиться любое число.

Что будет если б разделить на а?

разделить число а на число б, значит узнать сколько раз содержится число б в числе а. 12 : 6 = 2, можем проверить вычитанием: 12 — 6 = 6, 6 — 6 = 0. … также, разделить число а на число б, значит разделить а на б частей.

Сколько будет если 50% разделить на 1 2?

Ответ: Будет 100. bezglasnaaz и 4 других пользователей посчитали ответ полезным!

Почему при умножении на ноль?

Почему можно умножать на ноль и как умножение на ноль проверять (делить «нельзя»)? Умножение на ноль можно объяснить по разному, во-первых из бытового представления об умнажении. Умножить на 0 значить взять что-то 0 раз. То есть не брать ничего.

Как умножить на ноль?

1) Если единицу умножить на число, то получится то же самое число. 2) При умножении нуля на любое число, получается ноль. Из этого следуют правила умножения на 1 и 0: — При умножении любого числа на 1 получается то число, которое умножали.

Можно ли вычесть из нуля?

Деление на ноль запрещено. Это математически невозможно, так как умножение любого числа на 0 дает 0 в результате. … Вычитать из ноля можно, так как существуют отрицательные числа. Например, если из 0 вычесть 3, получится -3.

Можно ли в высшей математике делить на ноль?

На ноль действительно делить нельзя. … Делить на ноль в вещественных(действительных) числах — не имеет смысла. В ВУЗе, как правило, речь идет о бесконечно малых, это не ноль, это функции, принимающие ОЧЕНЬ маленькие значения, стремящеся к нолю, но это не ноль. Это иное понятие, из другого раздела математики.

Как натуральное число разделить на дробь?

Деление натурального числа на дробь

Чтобы поделить натуральное число на обыкновенную дробь нужно: знаменатель делителя умножить на число; числитель делителя записать в знаменатель.

Можно ли умножать и делить на ноль?

Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. … Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0. Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения. Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует.

Как делить дроби с разными знаменателями и Числителями?

Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, отличную от нуля, нужно:

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Данный конвертер переводит числа между наиболее популярными системами счисления: десятичной, двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной.

Система счисления — это способ представления числа. Одно и то же число может быть представлено в различных видах. Например, число 200 в привычной нам десятичной системе может иметь вид 11001000 в двоичной системе, 310 в восьмеричной и C8 в шестнадцатеричной.

Читайте так же:
Все функции excel с примерами и описанием

Существуют и другие системы счисления, но мы не стали включать их в конвертер из-за низкой популярности.

Для указания системы счисления при записи числа используется нижний индекс, который ставится после числа:
20010 = 110010002 = 3108 = C816

Кратко об основных системах счисления

Десятичная система счисления. Используется в повседневной жизни и является самой распространенной. Все числа, которые нас окружают представлены в этой системе. В каждом разряде такого числа может использоваться только одна цифра от 0 до 9.

Двоичная система счисления. Используется в вычислительной технике. Для записи числа используются цифры 0 и 1.

Восьмеричная система счисления. Также иногда применяется в цифровой технике. Для записи числа используются цифры от 0 до 7.

Шестнадцатеричная система счисления. Наиболее распространена в современных компьютерах. При помощи неё, например, указывают цвет. #FF0000 — красный цвет. Для записи числа используются цифры от 0 до 9 и буквы A,B,C,D,E,F, которые соответственно обозначают числа 10,11,12,13,14,15.

Перевод в десятичную систему счисления

Преобразовать число из любой системы счисления в десятичную можно следующим образом: каждый разряд числа необходимо умножить на X n , где X — основание исходного числа, n — номер разряда. Затем суммировать полученные значения.

Перевод из десятичной системы счисления в другие

Делим десятичное число на основание системы, в которую хотим перевести и записываем остатки от деления. Запишем полученные остатки в обратном порядке и получим искомое число.

Переведем число 37510 в восьмеричную систему:

Перевод из двоичной системы в восьмеричную

Для перевода в восьмеричную систему нужно разбить двоичное число на группы по 3 цифры справа налево. В последней (самой левой) группе вместо недостающих цифр поставить слева нули. Для каждой полученной группы произвести умножение каждого разряда на 2 n , где n — номер разряда.

Так же как и в первом способе разбиваем число на группы. Но вместо преобразований в скобках просто заменим полученные группы (триады) на соответствующие цифры восьмеричной системы, используя таблицу триад:

Триада000001010011100101110111
Цифра1234567

Перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную

Разбиваем число на группы по 4 цифры справа налево. Последнюю (левую) группу дополним при необходимости ведущими нулями. Внутри каждой полученной группы произведем умножение каждой цифры на 2 n , где n — номер разряда, и сложим результаты.

Также как и в первом способе разбиваем число на группы по 4 цифры. Заменим полученные группы (тетрады) на соответствующие цифры шестнадцатеричной системы, используя таблицу тетрад:

Тетрада0000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111
Цифра123456789ABCDEF

Перевод из восьмеричной системы в двоичную

Каждый разряд восьмеричного числа будем делить на 2 и записывать остатки в обратном порядке, формируя группы по 3 разряда двоичного числа. Если в группе получилось меньше 3 разрядов, тогда дополняем нулями. Записываем все группы по порядку, отбрасываем ведущие нули, если имеются, и получаем двоичное число.

Используем таблицу триад:

Цифра1234567
Триада000001010011100101110111

Каждую цифру исходного восьмеричного числа заменяется на соответствующие триады. Ведущие нули самой первой триады отбрасываются.

Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную

Аналогично переводу из восьмеричной в двоичную, только группы по 4 разряда.

Используем таблицу тетрад:

Цифра123456789ABCDEF
Тетрада0000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111

Каждую цифру исходного числа заменяется на соответствующие тетрады. Ведущие нули самой первой тетрады отбрасываются.

Перевод из восьмеричной системы в шестнадцатеричную и наоборот

Такую конвертацию можно осуществить через промежуточное десятичное или двоичное число. То есть исходное число сначала перевести в десятичное (или двоичное), и затем полученный результат перевести в конечную систему счисления.

Деление натуральных чисел

Вы уже знакомы с общими понятиями о делении и о том как делить в столбик, рассмотрим более подробно деление натуральных чисел и его свойства.

Читайте так же:
Ваше подключение не защищено chrome как отключить

Рассмотрим задачу:

У Вани 7 кроликов, он собрал для них 28 яблок. Сколько яблок досталось каждому кролику?

Пусть x яблок досталось каждому кролику, тогда мы можем сказать, что общее количество яблок равно: . Чтобы решить данное уравнение, мы должны найти число, которое при умножении на 7 даст результат 28, мы знаем, что такое число только одно — это 4: — верно. Следовательно, если известно произведение и один из множителей, можно найти второй множитель.

Действие, с помощью которого по произведению и одному из множителей находят другой множитель, называют делением.

Данное действие записывают так: , или , где:

Делимое — это то число, которое делят. Делитель — это то число, на которое делят. Частное — это результат деления.

Частное показывает во сколько раз делимое больше делителя, то есть в нашем примере: 28 больше 7 в 4 раза. Поэтому, если в задаче звучит вопрос "во сколько?", для её решения мы используем деление. При этом не всегда возможно одно число поделить на другое, тогда возникает необходимость деления с остатком.

Из вышесказанного мы можем сделать вывод:

1. Чтобы найти неизвестный множитель , надо произведение разделить на другой множитель .

Пример: , следовательно, , то есть .

2. Чтобы найти неизвестное делимое , надо частное умножить на делитель .

Пример: , по смыслу деления — это произведение 4 и 9, следовательно, , то есть .

3. Чтобы найти неизвестный делитель , надо делимое разделить на частное .

Пример: , по смыслу деления число 28 — это произведение множителей и 7, то есть мы можем записать: , теперь, применяя пункт 1, получаем: , то есть .

Свойства деления

Распределительные свойства:

1. Деление суммы на число:

2. Деление разности на число:

3. Деление произведения на число:

4. Деление числа на произведение:

Действия с единицей и нулем

1. Деление числа на единицу: то есть, при делении числа на единицу получается само число

2. Деление числа на себя: , то есть при делении числа, не равного нулю, на само себя получается единица.

3. Деление нуля на число: , то есть при делении нуля на любое число, не равное нулю, получаем ноль.

НА НОЛЬ ДЕЛИТЬ НЕЛЬЗЯ!

Свойства деления

Распределительные свойства :

1. Деление суммы на число:

У Вани и Маши 3 кролика. Маша нашла 9 яблок, а Ваня — 15. Сколько яблок досталось каждому кролику?

а) Мы можем сложить яблоки, которые нашли Маша и Ваня, а потом разделить полученное число на количество кроликов, то есть:

1) 9 + 15 = 24 (я) — собрали Маша и Ваня вместе.

2) 24 : 3 = 8 (я) — досталось каждому кролику.

б) Мы можем разделить яблоки, которые собрала Маша, затем разделить яблоки, которые собрал Ваня, а результат сложить:

1) 9 : 3 = 3 (я) — принесла Маша каждому кролику.

2) 15 : 3 = 5 (я) — принес Ваня каждому кролику.

3) 3 + 5 = 8 (я) — досталось каждому кролику.

Мы видим, что в обоих случаях получается один и тот же результат, и можно записать, что: (9+15):3=9:3+15:3.

Вывод: Чтобы разделить сумму на какое-нибудь число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно (если это возможно) и полученные частные сложить.

2. Деление разности на число:

Всего трем братьям папа дал 150 рублей. На 72 рубля они купили сестре цветы на день рождения. Сколько рублей осталось у каждого брата?

а) Мы можем из общей суммы вычесть то, что братья потратили, а затем поделить сдачу:

1) 150 — 72 = 78 (руб.) — осталось после покупки цветов.

2) 78 : 3 = 26 (руб.) — осталось у каждого брата.

б) Мы можем найти, сколько получил каждый брат, затем посчитать, сколько потрачено каждым из них, а затем вычесть из полученной суммы денег потраченную:

1) 150 : 3 = 50 (руб.) — получил каждый брат.

2) 72 : 3 = 24 (руб.) — потратил каждый брат.

3) 50 — 24 = 26 (руб.) — осталось у каждого брата.

Читайте так же:
Можно ли скрыть человека в инстаграме

Мы видим, что в обоих случаях получается один и тот же результат, и можно записать, что: (150 — 72) : 3 = 150 : 3 — 72 : 3.

Вывод: Чтобы разделить разность на какое-нибудь число, можно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно (если это возможно) и из первого частного вычесть второе.

3. Деление произведения на число:

В зооуголке в саду 3 кролика. 12 детей принесли по 6 яблок для кормления питомцев. Сколько яблок досталось каждому кролику?

а) Сначала можем найти общее количество яблок, которые принесли дети, а затем поделить на число кроликов:

1) 12 · 6 = 72 (я) — принесли всего дети.

2) 72 : 3 = 24 (я) — досталось каждому кролику.

б) Мы можем найти сколько детей принесли яблоки одному кролику, а затем умножить на количество принесенных яблок:

1) 12 : 3 = 4 (чел.) — принесли яблоки 1 кролику.

2) 4 · 6 =24 (я) — досталось каждому кролику.

б) Мы можем найти по сколько яблок принес 1 ребенок для 1 кролика, а затем умножить на количество детей:

1) 6 : 3 = 2 (я) — принес каждый ребенок для одного кролика.

2) 2 · 12 = 24 (я) — досталось каждому кролику.

Мы видим, что в всех случаях получается один и тот же результат, и можно записать, что: (12 · 6) : 3 = (12 : 3) · 6 = (6 : 3) ·12.

Вывод: Чтобы разделить произведение двух множителей на число, можно разделить на это число любой из множителей (если деление выполнимо) и частное умножить на второй множитель.

4. Деление числа на произведение:

В 4 клетках сидят по 3 кролика. Ваня принес 48 яблок. Сколько яблок досталось каждому кролику?

а) Мы можем найти сколько кроликов всего, а потом поделить яблоки на полученное число:

1) 4 · 3 = 12 (к) — всего в клетках.

2) 48 : 12 = 4 (я) — досталось каждому кролику.

б) Мы можем найти сколько яблок положат в каждую клетку, а затем, сколько получит яблок каждый кролик:

1) 48 : 4 = 12 (я) — положат в каждую клетку.

2) 12 : 3 = 4 (я) — досталось каждому кролику.

Если мы рассадим наших кроликов по 4 в три клетки, решая задачу аналогично получим:

а) 1) 4 · 3 = 12 (к) — всего в клетках.

2) 48 : 12 = 4 (я) — досталось каждому кролику.

б) 1) 48 : 3 = 16 (я) — положат в каждую клетку.

2) 16 : 4 = 4 (я) — досталось каждому кролику.

Мы видим, что в всех случаях получается один и тот же результат, и можно записать, что: 48 : (4 · 3) = (48 : 4) : 3 = (48 : 3) : 4

Вывод: Чтобы разделить число на произведение двух множителей, можно разделить это число сначала на один из множителей, а затем на второй.

Действия с единицей и нулем

1. Деление числа на единицу:

У Вани один кролик. Он принёс 3 яблока. Сколько яблок достанется кролику?

Будем рассуждать, у Вани всего один кролик, значит все яблоки достанутся ему:

3 : 1 = 3 (я) — достанется кролику, следовательно, мы можем сделать вывод: При делении числа на единицу получается само число:

2. Деление числа на себя:

Из свойств умножения мы знаем, что: , а мы знаем, что по смыслу деления можно записать, что: , то есть при делении числа, не равного нулю, на само себя получается единица.

3. Деление нуля на число:

Рассуждая аналогично пункту 2 получаем: , то есть при делении ноля на любое число, не равное нулю, получаем ноль.

Обратите внимание, что НА НОЛЬ ДЕЛИТЬ НЕЛЬЗЯ!

Это легко объяснить следующими рассуждениями: пусть мы взяли карандашей, попробуем разложить их в 0 коробок, и предположим, что получилось по карандашей в каждой коробке: , из смысла деления , в то же время мы знаем из свойств умножения, что: , то есть получаем, что , а это противоречит условию задачи, следовательно делаем вывод, что на ноль делить нельзя.

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector